LA ENSEÑANZA DE LAS
MATEMATICAS Y DE LAS CIENCIAS EN LA EDUCACIÓN SECUNDARIA OBLIGATORIA.
Bases epistemológicas
y didácticas.
Signos. Teoría y práctica de
la educación, 16 Octubre Diciembre de 1996. Páginas 58/71 ISSN: 1131-8600
MATEMATICAS
CARLES LLADÓ *
En este artículo se resumen los fundamentos teóricos que inspiran una
propuesta para la enseñanza de las matemáticas y de las ciencias en la
educación secundaria obligatoria realizada a lo largo de una serie de unidades
didácticas que ilustran las opciones didácticas adoptadas por sus autores. A lo
largo del texto, se subraya la dimensión sociocultural de las matemáticas, se
describen a las diversas investigaciones que dan cuenta de las formas en que se
adquieren los aprendizajes, se reflexiona sobre la naturaleza de la "transposición
didáctica" que exige la enseñanza del saber matemático y se alude al
"contrato didáctico" que debe permitir la construcción del
conocimiento en el aula.
Desde el curso 1988/89 ,
en diversos institutos de enseñanza secundaria de Sabadell y de su entorno (1)
ha ido tomando forma una Propuesta para la enseñanza de las matemáticas y de
las ciencias (2) sobre la base de unidades didácticas desarrolladas en
clase por un sólo enseñante (3). Esta propuesta es una opción para organizar la
enseñanza de estas materias que tiene en cuenta tanto los objetivos generales y
de área establecidos por la administración educativa, como ciertos fundamentos
epistemológicos y didácticos que , a partir de nuestra experiencia como
enseñantes , hemos explicitado y asumido como propios a lo largo de estos años
(4).
La intención de este
artículo es desarrollar estos fundamentos desde la perspetiva de las
matemáticas , haciendo énfasis en la dimensión social que tiene la actividad de
la enseñanza y del aprendizaje, una dimensión que no podemos ignorar si tenemos
en cuenta que nos estamos refiriendo , en nuestro caso, a una actividad que
llevamos a cabo en el interior de una institución social como son los
institutos de enseñanza secundaria.
Con el fin de tratar
correctamente esta dimensión social de la enseñanza de las matemáticas, nos ha
parecido conveniente adoptar la distinción (Margolinas, 1989) entre:
a)el
nivel de la micro-didáctica que se refiere a las relaciones entre el
conocimiento , el enseñante y el alumnado (el llamado sistema didáctico) en
relacion con una cierta parte del conocimiento y con una situación-problema
concreto;
b)el
nivel de la meso-didáctica que alude a los cambios que se producen en un
sistema didáctico cuando las situacines-problema que propone el enseñante
cambian;y
c)el
nivel de la macro-didáctica , que hace referencia al estudio tanto de los
sistemas didácticos como del sistema educativo considerados en el
interior de una cierta sociedad (matemáticos, enseñantes, padres, alumnos,...).
Así por ejemplo, es desde
el nivel de la macro-didáctica (Bartolini, 1992) desde el que podemos llegar a
comprender que tanto el proceso de construcción del cuerpo de
conocimientos matemáticos (conocimiento para ser utilizado) como el proceso de
su transposición didáctica ( que lo convierte en conocimiento para ser
utlizado) son hechos sociales que dependen de ciertas elecciones culturales de
la sociedad donde tienen lugar y que por lo tanto transcienden las intenciones
de cualquier enseñante en particular. En cambio , las decisiones que un
enseñante adopta en el momento de planificar secuencias didácticas , así como
los criterios que utiliza para escoger situaciones-problema para plantear
en clase, deben considerarse en el nivel de la meso-didáctica . Estas decisiones
pueden tener algunas limitaciones (por ejemplo, los programas establecidos por
las diferenes administraciones educativas) pero, incluso así , es evidente que
pueden tomarse decisiones y seguirse criterios diferentes y ser, no obstante,
cada uno de ellos, coherentes con los objetivos culturales,
socio-institucionales o cognitivos de un enseñante en particular, de un grupo
de enseñantes o de todo un centro educativo.
El nivel de la
micro-didáctica , en fin, es el que permite analizar lo que ocurre dentro de la
clase, lugar donde se da finalmente el proceso de interacción social entre
enseñante y alumnos y alumnas.
De ahí que, a nuestro
juicio , sea conveniente a continuación desarrollar las bases de nuestra
propuesta desde cada uno de los mencionados niveles a pesar de su inevitable
relación. Si los diferenciamos será sólo con el fin de construir un discurso
mejor estructurado.
1. Nuestra concepción
de la enseñanza de las matemáticas.
En nuestra opinión, hay
ciertos aspectos, dentro del nivel de la macro-didáctica que determinan en el
profesorado, de manera consciente o no, la forma de plantearse la enseñanza de
las matemáticas : la concepción que se tiene de éstas (1.1) , la que se tiene
sobre qué es el conocimiento y sobre cómo se aprende (1.2) y la concepción que
de ambas se deriva sobre qué ha de ser la enseñanza de las matemáticas
(1.3) . Adoptar opciones sobre estos tres aspectos nos permitirá hacer
explícito el marco sociocultural de nuestra propuesta (1.4).
1.1 La matemática
como producto cultural evolutivo.
Numerosos trabajos de
investigación, muchos de ellos de tipo antropológico y realizados con métodos
etnográficos (Bishop, 1988), han puesto de manifiesto el hecho de que las
matemáticas no tan sólo tienen historia, cosa hasta cierto punto evidente, sino
que están estrechamente vinculadas a la historia sociocultural de las
sociedades en las que se han desarrollado. En consecuencia , al ser estas
últimas distintas, han dado como resultado cuerpos de conocimientos matemáticos
distintos en cada una de ellas. Estos resultados han puesto en cuestión la
concepción de unas matemáticas "únicas" y "universales" que
se daba en nuestra sociedad occidental y han obligado a aceptar la tesis de que
las matemáticas son un producto cultural evolutivo , es decir, un cuerpo de
conocimientos con características propias en cada una de las distintas
sociedades y culturas que se ha desarrollado como resultado de ciertas
actividades que las personas llevan a cabo a raíz de la inevitable necesidad de
interacción con su medio físico y social.
A pesar de la diversidad
de conocimientos matemáticos generados por los distintos grupos culturales (de
la misma manera que son diversos sus lenguajes, creencias religiosas, ritos, técnicas
de producción de alimentos, etc.), algunos estudios (Bishop, 1988) permiten
afirmar que lo que sí existen son actividades comunes a todas las culturas que
están en la base de la producción de los conocimientos matemáticos. Entre estas
actividades hay seis fundamentales que se pueden considerar universales desde
un punto de vista antropológico: contar, localizar, medir, diseñar, jugar y
explicar (en Bishop, 1988 y en Bonilla, 1987 se detallan los trabajos que
justifican cada una de estas actividades y los conceptos matemáticos a que han
dado origen). Estas actividades no son propiamente matemáticas, en el sentido
actual del término, sino que son actividades "contextualizadas" y a
través de las cuales se ha desarrollado la matemática como una parte de la
cultura de una sociedad. Lo importante es que pueden considerarse como las
necesarias y suficientes (quizás excepto para algunos aspectos internos a la
propia matemática) para explicar el desarrollo del conocimiento matemático
actual.
Pero es necesario
referirse, también, a qué es la matemática en nuestra sociedad actual ya que es
evidente que, históricamente, hubo un salto entre la "matemática
operativa" vinculada en sus orígenes a las actividades
"contextualizadas" anteriormente mencionadas y la "matemática de
los griegos" que dio lugar a "nuestras" matemáticas,
caracterizadas por ciertos contenidos (conceptos y algoritmos del saber
matemático, pero también del saber cotidiano, independientemente de su grado de
explicitación) y a ciertas actividades basadas sobre elementos del saber
matemático (como pueden ser las de modelar, las de resolver problemas, las de
producir y demostrar conjeturas, etc.).
Este salto se produjo por
razones filosóficas y culturales externas a la matemática, y al que siguieron
otras "rupturas" epistemológicas a lo largo de la historia. A
clarificar las mencionadas "rupturas" ha contribuido la filosofía de
la matemática actual, que ha subrayado su interés por los problemas de
fundamentación para poder prestar atención al carácter casi empírico de la
actividad matemática, y también, en coherencia con lo que hemos dicho hasta
ahora, a los aspectos relativos a la historicidad e inmersión de la matemática
en la cultura de la sociedad en la que se origina.
Entre otras cosas, se han
clarificado dos aspectos de la actividad matemática, distinguiendo la
"lógica del descubrimiento" de la "reconstrucción lógica"
necesaria a efectos de comunicación de los resultados de la primera a una
comunidad más amplia. Actualmente se considera que el significado de los
conceptos matemáticos es negociado en el interior de una cierta comunidad, y
que es parte de un proceso de conjeturas, refutaciones y modificaciones que dan
lugar a demostraciones que tienen una historia y que por lo tanto están
vinculadas a un contexto. Esto explica que la historia real de una demostración
entre frecuentemente en conflicto con la presentación de la misma como una
certeza ahistórica, aunque ésta sea la presentación habitual en las aulas, lo
cual acaba deformando la imagen que el alumnado tienen de las matemáticas.
Por otra parte, la
actividad matemática (Guzmán, 1992) se enfrenta hoy día a un cierto tipo de
estructuras de la realidad (entendida en sentido amplio, como realidad social,
física o mental) mucho más complejas que las que exigían las seis actividades
básicas que antes hemos mencionado. Si, en coherencia con los citados estudios
antropológicos, la matemática podía considerarse hasta cierto punto como un
resultado de la actividad de enfrentarse con la complejidad procedente de la
multiplicidad y de la procedente del espacio, más adelante ha tenido que
enfrentarse con la complejidad del símbolo, con la del cambio y con la
causalidad determinista, con la procedente de la incertidumbre en la causalidad
múltiple y, finalmente, con la procedente de la estructura formal del propio
pensamiento, lo cual ha comportado diversos saltos o "rupturas
epistemológicas" a lo largo de su historia, haciendo de la matemática una
ciencia autónoma en relación a las otras.
Esta concepción de la
matemática como actividad humana históricamente determinada es la que enmarca
nuestra propuesta, una concepción que tiene su repercusión en los motivos que
tenemos como enseñantes en el momento de pensar en la actividad de enseñar
matemáticas en el interior de una institución social como los institutos.
Pero las actividades que
están en la base de la matemática, como actividades humanas que son, estimulan
y son estimuladas por una serie de procesos cognitivos que requieren formas
específicas de lenguaje y de representación. El análisis de estos aspectos
cognitivos nos lleva a un segundo asunto: a las concepciones sobre el
conocimiento y sobre el aprendizaje.
1.2. La
construcción del conocimiento
Puede ser interesante, en
el momento de hablar de las concepciones sobre qué es el conocimiento y el
aprendizaje, hacerlo a través de los modelos o metáforas que subyacen al
tipo de cuestiones planteadas en relación con estos fenómenos: las distintas
teorías sobre el conocimiento y el aprendizaje que se han ido elaborando son
intentos de darles respuesta (Sternberg, 1990).
Hasta la década de los
años setenta, las metáforas sobre qué es el conocimiento y el
aprendizaje que dominaban (y podríamos hacer referencia a la metáfora geográfica,
a la computacional, a la biológica o a la epistemológica) dieron lugar a
teorías que pretendían dar respuesta a la pregunta de cuál es la relación del
conocimiento con el mundo interno de la persona. Estas teorías entraron
gradualmente en crisis debido a numerosas investigaciones en el campo de la
psicología del aprendizaje. Investigaciones sociolingüísticas y sobre el
aprendizaje de las matemáticas y de la física pusieron en evidencia distintos
hechos que difícilmente encajaban en aquéllas, a pesar de que confirmaban el
papel activo de la persona en la construcción de su propio saber y la
importancia del proceso de adaptación a las situaciones que vive como uno de
los motores de su crecimiento cognitivo.
De un especial interés
para nosotros son las investigaciones sobre la formación de conceptos, que
subrayan que el dominio de un concepto también es el dominio del conjunto de
significados que asume en distintos contextos, así como del conjunto de
relaciones que la persona es capaz de establecer con otros conceptos, y no el
efecto de un proceso de identificación/ abstracción basado en la intersección
de aquellos distintos significados (Boero, 1991). Aludiremos también a las
investigaciones comparativas entre culturas diversas y sobre contextos de experiencia
diferentes, que muestran variaciones significativas de los conceptos y de las
estructuras operatorias en torno a los cuales parece organizarse el saber del
individuo en función de aquéllas (Carreher, 1988). Y, por último, las
investigaciones sobre el aprendizaje de las ciencias experimentales, que
muestran la importancia de las concepciones derivadas del ambiente
sociocultural de extracción del alumno y que pueden obstaculizar o favorecer
determinadas conceptualizaciones (Giordan, 1988).
Estas investigaciones han
modificado o sustituido algunas de las teorías sobre el conocimiento y el
aprendizaje elaboradas hasta entonces. Recogiendo las múltiples evidencias que
sugieren que el contexto externo en el que se mueven las personas tiene una
importancia enorme sobre el conocimiento que éstas construyen, actualmente la
atención se ha localizado en la cuestión de saber cuál es la relación entre el
conocimiento y la realidad exterior de la persona, a consecuencia de lo cual
han aparecido o se han recuperado otras metáforas (como la
antropológica, la históricosocial o la sistémica) que subyacen a las nuevas
teorías que intentan darle respuesta. En estas nuevas metáforas, el
conocimiento se concibe fundamentalmente como un producto cultural evolutivo.
Desde este punto de vista, el conocimiento es una cosa distinta de una persona
a otra, y de una cultura a otra, porque el proceso de selección y modelización
de la "realidad", y el de adaptación a ésta, es distinto en cada una
de ellas. Esta es una visión que nos interesa particularmente porque es
coherente con la posición que hemos adoptado en el apartado 1.1.al hablar del
conocimiento matemático, si bien allí adoptábamos una perspectiva de
construcción social del conocimiento y ahora aquí nos centramos en la perspectiva
personal de esta construcción.
Sin embargo estas metáforas
pueden presentar algunos aspectos negativos: por un lado, corren el peligro de
no considerar en absoluto el conocimiento y los procedimientos cognitivos con
los cuales la persona se enfrenta a la "realidad"; por otro, a pesar
de que dan importancia al contexto, muchas veces éste aparece como una
"caja negra", ya que no se elucida qué es exactamente ni de qué
manera determina la construcción individual del conocimiento. De estas posibles
limitaciones surge la necesidad de dirigir la atención hacia los mecanismos por
los cuales el contexto determina la construcción personal del conocimiento.
La metáfora
históricosocial,
que tiene su origen en los trabajos de Vygostky, es importante porque permite
entender e intervenir en la construcción del conocimiento personal. Mientras
las primeras metáforas tendían a ver el conocimiento como algo que se mueve
desde el interior de la persona hacia el exterior, esta metáfora parte de una
posición más dialéctica y destaca el componente que va desde fuera de la
persona hacia su interior: las personas jóvenes cuando crecen, interiorizan y
hacen suyos los procesos de pensamiento y los conocimientos, históricamente y
socialmente construidos, a través de las actividades sociales en las que
participan con la mediación de los adultos. Esta metáfora intenta pues dar
respuesta a cómo el proceso de socialización afecta al desarrollo del
conocimiento y permite comenzar a comprender los mecanismos por los cuales esto
es posible.
En resumen, conviene
tener en cuenta dos hechos ( GómezGranell, 1991):
La aportación de las metáforas
recientes nos lleva a entender el conocimiento como resultado de una actividad
realizada en un contexto cultural, histórico e institucionalmente definido, con
el cual interacciona el sujeto. Es decir, desde una perspectiva antropológica e
histórico-social, el conocimiento se produce no sólo porque hay interacción con
el medio físico sino porque esta interacción se da en el marco de un contexto
social con un sentido cultural en el cual las personas mantienen intercambios y
conversaciones a través del lenguaje. Nuestra propuesta pretende ser coherente
con esta perspectiva antropológica e histórico-social adoptando una perspectiva
de la enseñanza de las matemáticas y de las ciencias experimentales como un
proceso de enculturación.
1.3. La enseñanza
de la matemática como proceso de enculturación
Desde una perspectiva
antropológica e histórico social del conocimiento, la educación matemática
debería considerarse como una parte del proceso por el cual las personas toman
posesión de su cultura. Un proceso que podemos denominar proceso de
enculturación (Bishop, 1988) y que se lleva a cabo a partir de la
realización de actividades expresamente diseñadas para que aquéllas asuman las
formas de la actividad matemática características de un marco socio cultural
específico: el currículum de matemáticas debería ser la objetivación de las
mencionadas formas que pretendemos que las personas asuman. Desde esta
posición, se plantean de forma inmediata dos grandes problemas educativos. El
primero es el derivado de la posible separación entre la cultura de las
personas jóvenes y las matemáticas que uno quiere enseñar (Boero, 1995). A
pesar de la dificultad para solucionar este problema, el análisis de la
estructura cultural de las matemáticas permite no tener que partir de cero
cuando se quiere disponer de criterios para elaborar currículos con el objetivo
de evitar esta separación: por ejemplo, teniendo en cuenta las actividades
básicas que han dado lugar a cuerpos de conocimientos de matemáticas en todas
las sociedades y culturas como un sustrato cultural común y general a todas las
personas.
Por otra parte, el
análisis que hemos hecho del conocimiento y del aprendizaje nos puede permitir
dar respuesta a un segundo problema: el de la separación o continuidad entre el
pensamiento cotidiano y el pensamiento científico. Creemos que actualmente
domina entre los enseñantes la según la cual entre ambos hay separación y que
la racionalidad científica se desarrolla en ruptura con la racionalidad
cotidiana. Aunque compartimos la necesidad de caracterizar una y otra, nos
parece que a los enseñantes no nos conviene trabajar con esta imagen: ruptura
significa el resultado de romper, de romper en este caso la racionalidad
cotidiana de las personas jóvenes, de aquello que les permite explicarse el
mundo natural y social en que deben moverse y actuar de manera consecuente, de
quello que, englobando aspectos cognitivos y emocionales, forma parte de su
identidad personal. Trabajar con esta imagen comporta, frecuentemente de manera
inconsciente, diseñar acciones didácticas (en el nivel de la mesodidáctica) a
partir de sus déficits y no de sus potencialidades.
Frente a esto, y también
para ser coherentes con una visión de la matemática y de la ciencia como
actividades sociales históricamente determinadas, dirigida a descubrir
"maneras de ver" y "maneras de hablar" congruentes con la
realidad, y por lo tanto como actividades que tienen un fuerte componente de
debate, con un uso importante de la retórica y de la argumentación, nos
interesa como enseñantes establecer una continuidad entre la racionalidad cotidiana,
y en concreto la de las personas jóvenes, y la científica. Para ello, puede ser
más útil trabajar desde la metáfora "del injerto": es decir,
trabajar para "injertar" la racionalidad científica, con sus propios
conceptos y procedimientos, en la racionalidad cotidiana, que tiene también sus
propios conceptos y procedimientos característicos, haciendo que aquélla crezca
y se desarrolle a partir de ésta, lo cual podemos intentar conseguir tanto
proponiendo a los alumnos y usando con ellos nuevos lenguajes y prácticas
discursivas como dando la posibilidad a las personas jóvenes de participar en
otros tipos de experiencia, mediatas y emblemáticas, como las que podemos
ofrecerles en el marco del instituto.
En conclusión, en
coherencia con la concepción de las matemáticas como resultado de ciertas
actividades socioculturales (1.1.) y con la concepción antropológica e
históricosocial del conocimiento y del aprendizaje (1.2.), entendemos la
enseñanza de las matemáticas y de las ciencias como un proceso de enculturación,
el núcleo del cual son las actividades realizadas por las propias personas en
el marco de la institución social del instituto, actividades expresamente
diseñadas por los enseñantes para favorecer el aprendizaje de los contenidos
matemáticos y científicos por parte de aquéllas sobre la base de su propia
racionalidad cotidiana.
1.4. Marco
sociocultural de nuestra propuesta
Esta forma de entender la
enseñanza de la matemática nos ha llevado a diseñar una propuesta encaminada a
hallar un equilibrio entre las necesidades de formación de todas las personas
para poder insertarse en la sociedad actual y la necesidad de insertar a éstas
en una cultura históricamente determinada.
La atención al primer
aspecto (las necesidades actuales de formación) no nos puede hacer olvidar el
segundo: el instituto es una de las instituciones sociales, junto a otras, que
debe hacer posible a las nuevas generaciones su inserción en una determinada
cultura. Para nosotros, éste es el motivo del proceso que hemos denominado de enculturación.
En este sentido, la educación matemática y científica transmitida a través de
nuestra propuesta pretende cubrir algunas de las necesidades actuales de
formación, pero también pretende dar respuesta a la necesidad social de
asegurar la continuidad de las nuevas generaciones con el patrimonio cultural
de la humanidad, evitando la ruptura de los lazos de aquéllas con las raíces de
nuestra cultura. Sólo teniendo en cuenta este motivo central de la actividad
desarrollada en el instituto será posible al mismo tiempo dar a las personas
una visión de la matemática como actividad humana que responde a la necesidad
de resolver ciertos tipos de problemas, problemas que, históricamente, han
estado siempre presentes en el origen de los conceptos y de los procedimientos
matemáticos. Es desde esta visión históricosocial de la matemática desde la que
es posible dar respuesta a la necesidad cultural que las personas tienen de
encontrar sentido a los contenidos matemáticos (objetos de conocimiento)
haciéndose conscientes de su carácter de instrumentos de conocimiento (Douady,
1986) para resolver ciertos problemas.
Finalmente, es desde esta
concepción de la enseñanza de las matemáticas como podemos también responder a
las necesidades individuales profundas que tienen las personas de
"remontarse a sus orígenes", de identificarse con sus orígenes
familiares, sociales y culturales concretos, orígenes que les dan un marco de
referencia absolutamente necesario para desarrollarse como personas adultas.
Dar respuesta a las necesidades
mencionadas comporta para los enseñantes reflexionar sobre las raíces
culturales de los conocimientos básicos de la matemática y de las ciencias y
sobre los problemas que históricamente están en la base del desarrollo de
aquéllos. Entre estos últimos podríamos citar, en particular y como ejemplo,
los problemas derivados de la medida del tiempo, de la orientación local y de
la orientación global sobre la esfera terrestre, los tres relacionados entre sí
y vinculados estrechamente a las necesidades de organización social y económica
comunes a todas las sociedades.
Con este tipo de
reflexiones se puede hacer explícita la densidad de contenidos matemáticos
(tanto conceptuales como procedimentales) que hay detrás de la mayoría de las actividades
sociales "cotidianas". Sólo a partir de la capacidad de análisis
adquirida por los enseñantes a través de estas reflexiones es posible una
enseñanza de la matemática entendida como un proceso de enculturación que
asegure la inmersión de las personas jóvenes en las fuentes históricas y
culturales de los contenidos de la matemática. Y ello con tres finalidades:
-hacerles
conscientes de las matemáticas implícitas que hay detrás de ciertos
comportamientos sociales (por ejemplo, y siguiendo con los ya citados, los que
hacen referencia a la medida socialmente admitida del tiempo);
- hacerles conscientes del carácter de instrumento de los conceptos
matemáticos, a fin de que éstos tengan significado para ellos;
-sintonizar
con los intereses profundos y vitales que las personas jóvenes tienen como
personas que crecen y viven en una sociedad históricamente determinada y
potenciar de esta manera actitudes positivas hacia su propio aprendizaje y
hacia el entorno sociocultural en que viven.
1.5. La unidad
didáctica ``Sol i terra"
De ahí que sean
necesarias propuestas didácticas innovadoras y coherentes que intenten dar
respuesta de manera equilibrada a las necesidades de formación de todas las
personas y la conveniencia de hacerlo sin romper los lazos con las raíces
culturales de los contenidos matemáticos. En este sentido, una de las unidades
clave de nuestra propuesta, la unidad "Sol i Terra" (5), que
trabajamos dentro del campo de experiencia de las "sombras del Sol"
con alumnos y alumnas de 12 y 1 i años, a mitad del primer curso de Educación
Secundaria Obligatoria, es ejemplar.
El trabajo sobre las
sombras permite realizar experiencias de racionalización de un fenómeno natural
que en la antigüedad tuvo una gran importancia para la construcción del saber
geométrico, un saber estrechamente ligado con la conquista de un mayor nivel de
racionalidad en el dominio del ambiente natural. En particular, en el campo de
experiencia de las ``sombras del Sol" los alumnos y las alumnas pueden ser
guiados y ayudados por el enseñante (que actúa como "mediador" entre
ellos y el pasado) en el paso desde una visión precientífica de las sombras
(las sombras como atributo del objeto que la proyecta y/o como reflejo de
atributos del Sol) a la modelización geométrica y aritmética del fenómeno (con
la introducción de conceptos como los de paralelismo, perpendicularidad, ángulo
y proporcionalidad como instrumentos de conocimiento); y así recorrer una etapa
significativa de la construcción de una racionalidad científica que tuvo lugar
hace más de 25 siglos (y que relacionamos con la figura de Tales), vinculada al
uso de ciertos instrumentos geométricos (regla, escuadra, plomada), a ciertas
formas de representación (dibujo, escalas) y, por lo tanto, a cierta tecnología
tanto artefactual como simbólica.
Al mismo tiempo, con el
trabajo en el campo de experiencia de las "sombras del Sol", el
alumnado tiene numerosas ocasiones, vinculadas de manera "natural" al
estudio del fenómeno, para desarrollar algunas capacidades necesarias para insertarse
en la sociedad actual de una manera autónoma, como pueden ser, por ejemplo, las
capacidades para interpretar información figural (gráficos, dibujos en
perspectiva, dibujos técnicos, etc.) y para procesar información de forma
visual, o también las capacidades de formulación y de gestión de hipótesis
previsionales, interpretativas o proyectuales en relación a fenómenos complejos
(Lladó, 1995).
La referencia a una
unidad didáctica como "Sol i Terra" pone sin embargo de manifiesto el
problema central de la enseñanza: el de la inevitable recontextualización del
saber que se debe hacer a la hora de diseñar actividades didácticas. ¿Cómo
diseñar actividades en el interior del instituto que permitan desarrollar
conocimientos matemáticos que tuvieron origen en su exterior?
2. Las opciones en el
nivel de la meso-didáctica
El proceso que se sigue,
conscientemente o no, en el momento de diseñar actividades para desarrollar en
clase entra dentro de lo que se denomina "transposición didáctica" y
"recontextualización del saber" (2.1.). Se pueden identificar cuatro
opciones "de re contextualización" en lo que se refiere a las
matemáticas (2.2.); la que caracteriza nuestra propuesta la analizaremos con
más detalle (2.3.) antes de ejemplificarla mediante la unidad "Habitatges
i Terrenys", que trabajamos con los alumnos y alumnas de 13 y 14 años
(2.4.).
2.1.La
transposición didáctica
La noción de
"transposición didáctica" (Chevallard, 1991) ha permitido dar cuenta
de la transformación necesaria que se hace sobre los saberes que es necesario
enseñar antes de que éstos puedan ser efectivamente enseñados. El saber
matemático histórica y socialmente reconocido en un momento dado sufre un
proceso de transposición didáctica para convertirse en saber matemático para
ser enseñado. Por otra parte, este último necesita todavía de otra
transformación para convertirse en objeto de enseñanza.
La planificación de
secuencias didácticas implica siempre un proceso de
"recontextualización" del conocimiento matemático. Este proceso,
socialmente inevitable, es por otra parte absolutamente necesario:
"recontextualizar" también significa hacer accesible el
"conocimiento que hay que enseñar" a través de la elección de
oportunas situaciones problemáticas con capacidad de estimular la construcción
de significados que den sentido a los conceptos que hay detrás de este
conocimiento, y con capacidad, además, de establecer relaciones entre él
conocimiento en construcción y la red de los conocimientos que los alumnos y
las alumnas ya tienen, reforzando y profundizando ciertos conocimientos y
poniendo en crisis a otros.
Si no se produce esta
recontextualización, o bien si no se hace de forma adecuada, muchas personas
corren el riesgo de no "acceder" al conocimiento y de aprender sólo a
repetir el saber de los libros de texto sin interaccionar con su cultura
profunda, y por lo tanto sin ser capaces de utilizar los conocimientos
aprendidos en nuevas situaciones, dentro y fuera del instituto; o en todo caso,
de convertir el conocimiento adquirido en un conocimiento que quedará en un
nivel que podríamos denominar de "conocimiento inerte".
La recontextualización es
necesaria pero, según el marco teórico que se adopte, la edad de los alumnos y
los contenidos que hay que enseñar, existen opciones didácticas diversas para
hacerlo. La recontextualización didáctica que hay detrás de nuestra
propuesta, en coherencia con las ideas de la primera parte (apartados 1.1.,
1.2. y 1.3.), pretende:
-Tener
en cuenta el carácter sociocultural de las matemáticas y de las ciencias
y, en consecuencia, el reconocimiento del proceso de enseñanza de la matemática
y de las ciencias como un proceso de enculturación. Por tanto, pretende diseñar
secuencias didácticas que permitan construir una imagen de las matemáticas como
instrumento de conocimiento útil para entender y "racionalizar" la
realidad en la que uno vive, y vinculadas a las prácticas sociales, sin negar
el otro aspecto de la matemática como objeto cultural que evoluciona a lo largo
de la historia según exigencias de sistematicidad, de coherencia y de
comunicabilidad, entre otras.
-Tener
en cuenta que la característica básica de las matemáticas es la de ser una
actividad que tiene como finalidad resolver problemas (Douady, 1986). Por lo
tanto, pretende responder a la necesidad de que el núcleo básico de cualquier
opción didáctica para la enseñanza de la matemática sea la de hacer una enseñanza
por problemas (Villani, 1976).
-Tener
en cuenta la naturaleza de los procesos de construcción del conocimiento. En
consecuencia, pretende ofrecer al alumnado las suficientes oportunidades para
dotar de significado a los contenidos matemáticos aprendidos y para
explicitarlos y relacionarlos con los que ya constituyen su red conceptual.
-Tener
en cuenta, por último, que todo aprendizaje queda vinculado a su contexto y que
por lo tanto el contexto es importante. En consecuencia, nuestra propuesta
pretende elaborar hipótesis sobre cuáles pueden ser los contextos adecuados, no
sólo para favorecer y "forzar" el aprendizaje de ciertos contenidos
matemáticos y la aparición y uso de determinadas estrategias resolutivas, sino
también para promover el desarrollo de competencias generales (lingüísticas,
lógicas, metacognitivas, etc.).
2.2. Algunas opciones
para recontextualizar
Nos centraremos
especialmente en este último aspecto, ya que la elección y el uso didáctico de
contextos adecuados es un problema difícil dentro de la didáctica de las
matemáticas. De manera bastante sintética, podríamos agrupar las distintas
opciones en dos grandes líneas, la segunda de las cuales engloba a tres de
ellas:
A)
Opción descontextualizadora: Punto de vista formalista. En este caso, se
presentan los conceptos precisamente de manera descontextualizada, tratándolos
de la manera más general posible, organizados en teorías con una estructura
deductiva. Se quiere evitar de esta manera que los alumnos y las alumnas cedan
asociar precisamente los conceptos a contexparticulares de cara a mejorar su
capacidad de transferencia y aplicación. Ésta es la opción que ,,optó la
presentación de las llamadas matemáticas modernas.
B)
Opción contextualizadora. Dentro de esta opción distinguiremos:
-
La etnomatemática estudia las matemáticas en relación directa con el
trasfondo social, económico y cultural de una determinada sociedad o grupo social.
Se trata de sacar a la luz las matemáticas implícitas en múltiples actividades
socialmente compartidas y de utilizarlas como punto de partida para hacer
matemáticas en el aula. Una consecuencia de este proceso de
"recontextualización" es un mayor nivel de consciencia en el alumnado
de la relación entre el razonamiento matemático y la producción material, es
decir, entre el "hacer matemáticas" y la tecnología (Bonilla, 1987).
-
La matemática realista pretende trabajar los conceptos en diferentes
contextos con la finalidad de conseguir, por una parte, su significatividad y
funcionalidad, y, por otra, facilitar el desarrollo en las personas de los
procesos de modelización, de generalización y de abstracción. Desde esta
posición se ve la actividad matemática como aquélla que permite identificar
situaciones y formular problemas que permitan ser tratados matemáticamente, y
por esto la actividad de modelización mencionada pasa a ser central. Es una
actividad que se desarrolla en un contexto, y es este contexto el que otorga
significado social y cultural a la matemática utilizada para la modelización. A
veces este proceso de modelización se denomina matematización horizontal,
que se distingue de la matematización vertical (Treffers, 1985),
realizada a partir de la generalización y abstracción de los contenidos
matemáticos mediante la simbolización.
-
El trabajo a partir de los "campos de experiencia"; que
detallaremos más adelante (2.3) y que es la opción que hay detrás de nuestra
propuesta.
Dejando de lado la primera
opción, que ya ha demostrado sus limitaciones, y la segunda, a tener en cuenta
cuando se quieren implantar currículos de matemáticas en sociedades con
culturas distintas a nuestra cultura "occidental", la perspectiva de
la matemática realista, a pesar de que representa un gran avance en
relación con la enseñanza tradicional de la matemática, presenta el problema de
que la elección de contextos para diseñar propuestas curriculares globales sólo
se hace desde el punto de vista de los objetivos específicos matemáticos, lo
cual hace que resulte una estructura "episódica" en lo que se refiere
a los "contextos" escogidos frente la unidad orgánica del currículo
matemático.
Frente a este situación, e
insistiendo en la consideración de la matemática como producto cultural, es
preciso encontrar formas de planificar secuencias didácticas que exploten la
fuerte influencia que la cualidad cultural y la unidad de los
"contextos" escogidos pueda tener para desarrollar competencias
generales (lógicas, lingüísticas, metacognitivas) al mismo tiempo que
desarrollan competencias estrictamente matemáticas aunque está claro que, por
ejemplo, la historia de la cultura y los estudios etnomatemáticos pueden
aportar elementos para identificar contextos que permitan una
recontextualización del conocimiento matemático de manera orgánica con estos
mismos contextos escogidos.
2.3. El trabajo en el
interior de los "campos de experiencia"
Es preciso concretar qué
entendemos por "recontextualizar" y trabajar en un contexto. Gran
parte de las experiencias que se hacen o que pueden hacerse en clase son
modelos, simulaciones o sugerencias "controladas" de todo aquello que
sucede en la realidad externa a la clase. Ésta es una limitación intrínseca de
la institución escolar, pero también tiene sus potencialidades. Nuestra opción
es la de no transferir dentro del instituto la vida extraescolar (por un
principio de realidad) sino la de introducir a los alumnos y a las alumnas en
un proceso de enculturación a través de la reconstrucción de partes importantes
del saber a partir de contextos y situaciones escogidas adecuadamente por el
enseñante.
El contexto escogido para
elaborar secuencias didácticas puede entenderse de muchas maneras. Nuestra
propuesta ha optado por utilizar la noción de "campo de experiencia"
(Boero, 1989) para encuadrar toda la problemática de la
"recontextualización". Entendemos por "campo de
experiencia" un sector de la experiencia (actual o potencial) de los
alumnos y alumnas, identificable por ellos, con características específicas que
lo hacen apto (bajo la guía del enseñante) para desarrollar actividades de
modelización matemática y/o de planteamiento y resolución de problemas
matemáticos.
En función de esta opción,
nuestra propuesta pretende desarrollar el trabajo en clase sobre "campos
de experiencia" ya presentes en la vida, extraescolar o no, de los
alumnos y alumnas, o proponer otros nuevos (por ejemplo, los aportados por las
ciencias) que alarguen y/o anticipen su "experiencia del mundo", y a
través de oportunas elecciones de situacionesproblema, profundizar, extender y
explicitar las competencias de que ya disponen, yendo más allá de lo que
produciría el ritmo natural de sus experiencias extraescolares, más allá de los
niveles de profundización a los cuales podrían llegar espontáneamente en los
distintos ambientes socioculturales con que pudiesen encontrarse, y más allá de
los niveles de explicitación y de conciencia alcanzables de manera espontánea.
En este sentido, detrás
de nuestra propuesta está la hipótesis de que las actividades desarrolladas en
el instituto, en el interior de ciertos campos de experiencia extraescolares o
extramatemáticos, ponen las bases de futuras actividades en campos de
experiencia matemáticos. En cierta manera, el trabajo a partir de campos de
experiencia obliga a adoptar una posición dialéctica de la enseñanza de la
matemática, que debe ir acompañada de un visión a largo plazo de todo el
proceso de enseñanza. En nuestro caso particular, de una visión a lo largo de
toda la etapa de la Educación Secundaria Obligatoria, una visión dialéctica a
largo plazo que se puede encuadrar en el marco teórico de la dialéctica
instrumento/ objeto (Douady, 1986)
Ya hemos dicho que la
actividad principal de las matemáticas es la de plantear y resolver problemas
vinculados a ciertas necesidades socialmente determinadas. Se puede considerar
que inicialmente los contenidos matemáticos juegan el papel de instrumentos de
conocimiento para resolver los problemas planteados. Sólo más tarde, y en
función de razones diversas, el contenido matemático se descontextualiza para
poder ser utilizado en otras situaciones y poder resolver otros problemas.
Entonces pasa a ser un objeto de conocimiento que ocupará un cierto
lugar dentro de una red de conocimientos más amplia, la del saber matemático
del momento.
En el nivel de la
mesodidáctica conviene distinguir el doble carácter de instrumento y de objeto
de un contenido matemático. El trabajo en el interior de un campo de
experiencia explota precisamente este doble carácter: las personas, en el
interior de un campo de experiencia escogido adecuadamente por el enseñante, y
bajo su guía, construyen y utilizan los contenidos matemáticos inicialmente
como instrumentos, de manera explícita o no. En esta etapa es precisamente el
campo de experiencia, el contexto, el que da significado a los contenidos
matemáticos. Sólo mas adelante, a través de actividades expresamente diseñadas
y encaminadas a explicitar los contenidos matemáticos que se han utilizado,
éstos pasaran a ser objetos de conocimiento. Con el tiempo, estos nuevos
objetos podrán ser un campo de experiencia en el que plantear nuevos problemas
y por lo tanto la necesidad de crear nuevos instrumentos de conocimiento. Es en
este segundo momento cuando se puede llegar a hablar de campos de experiencia
interiores a la propia matemática.
Podemos completar esta
visión dialéctica mencionando el hecho de que el trabajo en un campo de
experiencia extramatemático puede poner las bases de futuras actividades en un
campo de experiencia matemático, tanto en lo que se refiere a los significados
de los conceptos matemáticos (tomados como instrumentos que a través de la
mediación del enseñante pueden ser objetos de campos de experiencia internos de
la matemática) como también en lo que respecta a las habilidades de base
(capacidad de argumentación, capacidad de reflexión, capacidad de desarrollar
procesos metacognitivos, etc.).
A pesar de la
potencialidad del trabajo en "campos de experiencia", éste deja sin
embargo abiertos ciertos problemas: por un lado, se debe considerar el problema
de aquellos alumnos y alumnas que tienen una experiencia extraescolar pobre (y
frente a los cuales está precisamente el reto de ofrecerles campos de experiencia
que puedan ser la base de futuros aprendizajes); por otro, el problema que se
presenta cuando se pretende trabajar instrumentos de conocimiento ausentes
totalmente en el contexto sociocultural de los alumnos y alumnas; y por último,
el problema derivado de ciertos aspectos internos de la propia matemática (y
que sólo pueden ser trabajados en el interior (le campos de experiencia
matemáticos; por ejemplo, el de la demostración).
En definitiva, nuestra
propuesta implica la elaboración de itinerarios didácticos a lo largo de
los cuatro cursos de la Educación Secundaria Obligatoria estructurados según
distintos criterios ordenadores: la sucesión de etapas de aprendizaje
"disciplinar" (es decir, de contenidos matemáticos y científicos)
pretendemos que se entrelace con la sucesión de etapas de profundización
"temática" o "contextual" a lo largo de los diferentes
campos de experiencia que constituyen el sustrato de las diversas unidades
didácticas.
2.4. Algunos
comentarios sobre la unidad "Habitatges i Terrenys"
La unidad
"Habitatges i Terrenys" (6) lea sido elaborada en torno al problema
de la vivienda en las ciudades y a la relación extensión/ precio, del cual
hemos elaborado la hipótesis que es un campo de experiencia para los alumnos y
alumnas. Éste es reconocido como tal por ellos (recordemos que ésta era una de
las características) como lo demuestra el análisis de las respuestas que dan a
las cuestiones planteadas al inicio de latinidad.
El campo semántico (y que
le da significado desde el punto de vista del enseñante) que está detrás de
esta unidad es la medida de la extensión de figuras planas cerradas, mientras
que el campo de experiencia es, como hemos dicho, el de "habitatges i
terrenys" y los problemas de tipo socioeconómico vinculados a ellos. Este
campo de experiencia es evocado en esta unidad didáctica a través de las
lecturas de la prensa o bien a partir de la estructuración que pueda hacer el
propio enseñante de las aportaciones de los alumnos y alumnas.
La unidad permite recoger
el análisis histórico del concepto de área y de su medida, que pone de
manifiesto que han estado vinculados casi siempre, como en la actualidad, a los
aspectos económicos de la tierra, de su propiedad, de su uso y de su
intercambio.
Un campo de experiencia
se escoge en función del momento social en que se vive, de las condiciones del
instituto, del marco sociocultural del alumnado, de modo que en principio
podría ser intercambiado por otro siempre y cuando mantuviera el mismo núcleo
conceptual. Así, a partir de un análisis fenomenológico del concepto de área y
de su medida, sería posible identificar otros campos de experiencia
alternativos. Así, por ejemplo, se podría construir la unidad didáctica a
partir del campo de experiencia de la captación de agua de lluvia como recurso
básico en nuestras sociedades urbanas. O bien, en el ámbito de las ciencias
sociales, de las relaciones de desigualdad en la calidad de vida de las
personas a partir de indicadores como, por ejemplo, la densidad de población.
Trabajar en un cierto
contexto nos permite hacer "funcionar" a los contenidos matemáticos
como instrumentos de conocimiento. Es de esta manera como los contenidos
matemáticos pueden ser significativos para el alumnado. Pero los contenidos
matemáticos construidos o utilizados como instrumentos de conocimiento en un
cierto contexto pueden ser descontextualizados y convertirse en objetos
matemáticos. A la larga formarán parte de un nuevo campo de experiencia que
exigirá construir nuevos instrumentos de conocimiento.
En matemáticas este proceso
se puede repetir sucesivas veces, a diferencia de lo que ocurre en otras
ciencias (física, biología). En este sentido, la unidad "Habitatges i
Terrenys" explota a fondo esta posibilidad, contribuyendo así a
caracterizar a las matemáticas como una ciencia autónoma. De ahí que esta
unidad sea el inicio de un itinerario didáctico que tendrá su continuación en
el tercer curso de Educación Secundaria Obligatoria con el estudio de las
expresiones algebraicas, y en el cuarto curso con el estudio de las transformaciones
de expresiones algebraicas.
3. El trabajo en el
nivel de la microdidáctica
En este apartado
aludiremos a la gestión de la clase, y por lo tanto, al papel que corresponde
al enseñante y el que corresponde a los alumnos y alumnas dentro de lo que se
denomina sistema didáctico. En concreto, nos referiremos al contrato didáctico
como un elemento fundamental de este sistema (3.1.) y ala responsabilidad que
el enseñante tiene en el proceso que ha de llevar a la explicitación e
institucionalización del conocimiento construido en el interior de las
situaciones didácticas (3.2.). Un proceso que se realiza básicamente a partir
de las interacciones que se establecen en el interior de la clase y que por lo
tanto tiene, inevitablemente, un carácter social (3.3.).
3.1. El contrato
didáctico
Para estudiar
experimentalmente los problemas de la enseñanza de las matemáticas, la escuela
francesa de didáctica utiliza la teoría de las situaciones didácticas
(Brousseau, 1986). El marco teórico que proporciona esta teoría puede ser útil
para entender algunos aspectos claves de nuestra propuesta en lo que se refiere
a su gestión en la clase.
La teoría de las
situaciones didácticas es hoy en día bastante conocida entre los enseñantes de
matemáticas y no nos extenderemos en ella. Sólo recordaremos que una situación
didáctica se define como el conjunto de relaciones establecidas explícita y/o
implícitamente entre los alumnos y alumnas (individual o colectivamente), un
cierto medio (que comprende eventualmente los instrumentos o los objetos) y el
enseñante a fin de conseguir que aquéllos se apropien de un saber constituido o
en vías de constitución.
Conviene subrayar el
hecho de que el papel de "enseñante" o de "alumno" en una
situación didáctica viene definido por la finalidad del sistema didáctico, que
es el de pasar de un estado inicial a un estado final en relación al saber que
es objeto de aprendizaje. Una relación que evidentemente es asimétrica, ya que
no es la misma la que mantiene el enseñante que la que mantienen los alumnos y
las alumnas, y que por tanto se trata de una asimetría constitutiva del propio
sistema didáctico. Inicialmente, no es que el alumnado no tenga ninguna
relación con el saber, sino que, en el estado inicial, esta relación es poco o
nada adecuada. El enseñante debe organizar las interrelaciones entre los
alumnos y alumnas y entre éstos y el medio de manera productiva a fin de que
cambie la relación que aquéllos tienen con el saber. Cabe esperar que a partir
de un cierto momento el enseñante podrá "retirarse de la escena" y
los alumnos y alumnas podrán mantener una nueva relación con el saber más allá
de la presencia del enseñante.
Esta asimetría, creada
por la diferente relación (,en el saber entre enseñante y los alumnos y
alumnas, ha de estar sin embargo regulada de alguna manera. El enseñante y el
alumnado, en la relación didáctica, entran en un juego según reglas que
funcionan como las cláusulas de un contrato, unas cláusulas que frecuentemente
no son explícitas y que se manifiestan, frecuentemente también, sólo cuando son
transgredidas. Se puede pues hablar de un contrato didáctico, o conjunto
de condiciones que determinan implícitamente aquello que cada uno, el enseñante
por un lado y los alumnos y alumnas por otro, tienen la responsabilidad de hacer.
La introducción de la
noción de contrato didáctico permite analizar ciertos fenómenos que se
observan en las aulas (Azcárate, 1994). Más adelante haremos referencia a uno
de ellos en relación con las interacciones verbales en clase (3.3.). Ahora nos interesa
comentar algunas características del contrato que pretendemos que se establezca
a través de nuestra propuesta.
Partiendo de la
concepción de que la enseñanza de las matemáticas debe estar enraizada en la
actividad de los alumnos y alumnas, el contrato debe dejar claro que el
enseñante está dispuesto a tomar como punto de parola de la evolución del
sistema didáctico las propias actividades de aquéllos y que será sobre sus
producciones personales y colectivas como intentará hacer progresar el saber de
todos. Para que esto sea posible es evidente que las situacionesproblema que
plantee en cl interior de los campos de experiencia escogidos deberán tener
ciertas características. Así, por ejemplo, la búsqueda de datos pertinentes con
las cuestiones planteadas puede ser necesaria y será permitida y valorada, y
por lo tanto tendrá que ser explicitada en el contrato al igual que la
necesidad de validación de los resultados.
Algunas rupturas del
contrato ya no son necesarias para hacer avanzar el saber, sino que el mismo
contrato prevé la progresión de aquél poniendo a prueba las sucesivas
concepciones provisionales y relativamente buenas de los alumnos y alumnas, y
que habrán, según cada caso, de descartar o retomar y extender para formar
nuevas concepciones. Entre otros aspectos, pues, el nuevo contrato permite dar
un nuevo estatuto al error: el error ya no es un defecto que es necesario
evitar sino que se acepta hasta el punto de que pueda ser constitutivo del
propio conocimiento.
3.2. La
construcción del conocimiento en el interior de la clase y el papel del
enseñante
La planificación y
gestión en clase de una determinada unidad didáctica no puede prescindir de
fuentes teóricas de referencia, explícitas o no, que sirvan de referentes tanto
a los procesos de aprendizaje como a los de la interacción entre enseñante y
alumnos. Pero una práctica didáctica atenta sólo a principios teóricos
generales sobre los aspectos citados llevaría a una subvaloración de los
problemas didácticos y de gestión del trabajo en clase que están directamente
ligados con los contenidos (disciplinares y contextuales) concretos que se
quieren desarrollar. Por otro lado, estamos convencidos de que el patrimonio de
experiencias acumulado por el colectivo de enseñantes es, hoy día,
suficientemente rico y articulado como para que permita "comprender"
mucho más la relación entre enseñante y alumnos de lo que muchas teorías no
permiten hacer.
De ahí la necesidad de
reflexionar sobre el papel del enseñante en clase. El nuevo contrato permite
delimitar las nuevas responsabilidades: la responsabilidad del enseñante no es
el aprendizaje de los alumnos y de las alumnas, que es responsabilidad suya,
sino la de crear las condiciones para que éste se produzca. Desde esta óptica,
es evidente que nuestra propuesta nos ha permitido reflexionar cómo el
enseñante puede hacer evolucionar el trabajo en el interior de cada situación
didáctica. Esta reflexión nos ha llevado a extraer algunas indicaciones,
básicamente orientadas en dos direcciones:
De todos modos, el
enseñante no puede limitarse a la función de "persona que propone
situaciones-problema bien escogidos" y de "organizador de la
autoconciencia de los alumnos y alumnas" (Gruppo di Ricerca, 1992). Los
análisis de la propia actividad que se desarrolla en clase son los que ponen en
evidencia, a nuestro parecer, la necesidad de otras funciones, funciones que
revalorizan el papel del enseñante como persona clave para el proceso de
aprendizaje de los alumnos y de las alumnas.
En términos generales, y
de acuerdo con la dialéctica instrumento/ objeto, se pueden distinguir dos
momentos diferenciados dentro del trabajo propuesto a los alumnos y alumnas. Un
primer momento es el vinculado a la construcción de conocimientos como
instrumentos; el segundo es cuando se pretende que éstos pasen a ser objetos de
conocimiento.
A) El tipo de trabajo que
se desarrolla en un primer momento caracteriza nuestra propuesta. En esta fase
el aspecto central de la tarea del enseñante es la que se refiere a la
responsabilidad de la adquisición guiada (y si es necesario, "forzada")
del saber social común en el interior de los campos de experiencia propuestos a
los alumnos y alumnas. El enseñante, a nuestro parecer, debe sugerir y hacer
practicar en diferentes situaciones a los alumnos y alumnas formas de hacer, de
decir, de representar los conocimientos y procedimientos vinculados a las
necesidades intrínsecas de los problemas propuestos sin preocuparse, al inicio,
de si los alumnos y alumnas son plenamente conscientes del significado
matemático o cultural de aquello que aprenden y aprenden a hacer, y sin tampoco
esperar que sean ellos los que propongan acciones particulares para resolver el
problema planteado o los que propongan formas de representación específicas de
resolución. De alguna manera el enseñante debe actuar "como si" los
alumnos supieran ya..
Las motivaciones y la
justificación de este tipo de intervención son varias:
Por otro lado, incluso
admitiendo la importancia del aprendizaje "constructivo" por parte de
los alumnos y alumnas en el interior de las actividades que se les propone, no
se excluye la existencia de conocimientos adquiridos a través de otras formas
de aprendizaje. De cara a las situaciones reales de aprendizaje en la vida de
una persona, hemos de reconocer la importancia tanto de la capacidad de
construir el propio saber, dirigiendo de manera consciente tanto como sea
posible el propio proceso de aprendizaje, como de "aprender a hacer"
(por imitación o siguiendo las instrucciones de un manual...) y después
gradualmente darse cuenta de los significados y de las relaciones culturales de
aquello que se ha aprendido.
En ciertos campos de
experiencia bien escogidos, los alumnos y alumnas podrán elaborar autónomamente
estrategias de resolución, a veces utilizando de forma creativa los vínculos
inherentes al "contexto externo" del campo de experiencia en el cual
se trabaja, a veces haciendo referencia a sus propias concepciones. En otros
casos, sin embargo, los alumnos y alumnas pueden ser incapaces, tanto
individual como colectivamente, de elaborar modelizaciones adecuadas de ciertos
fenómenos o de ciertas situaciones. No se trata de eliminar estas situaciones
por el solo hecho de que frente a ellas los alumnos y alumnas no sean capaces
de desarrollar en un tiempo razonable un propio y autónomo proceso de
construcción conceptual; más bien se trata de aceptar por parte del enseñante
un papel intervencionista" directo sobre el proceso de aprendizaje del
alumnado, sustitutivo (en ciertos casos) de actos del pensamiento que él
posiblemente no puede producir.
El análisis de este tipo
de situaciones frecuentemente lleva a darse cuenta de que se corresponden con
ciertos momentos de la historia de la matemática y de la ciencia y que se
califican de "revoluciones científicas". Lo cierto es que muchas de
esas "revoluciones" no están al alcance un trabajo de construcción
conceptual efectivamente participativo, de manera activa y autónoma, por parte
de los alumnos y de las alumnas. No obstante, se trata de "revoluciones
científicas" que las personas de la escuela secundaria deben conocer en
tanto que constituyen una interpretación racional y actualizada del mundo que
nos rodea. Por lo tanto, el enseñante deberá hallar formas de actuar de mediador
entre aquéllas y éstas, adoptando un papel "crítico" frente a las
maneras de pensar ingenuas o no "científicas" presentes entre los
alumnos y alumnas y frecuentemente también en sus ambientes socioculturales de
origen (Boero, 1995).
B) En cuanto a la segunda
fase del trabajo, el trabajo desarrollado en los campos de experiencia (Boero,
1989) da como resultado la construcción de conceptos y procedimientos que, en
la mayoría de las ocasiones, se quedan en un nivel operativo implícito porque
estos conceptos aparecen como instrumentos de conocimiento pertinentes para
resolver la situación planteada. En este sentido, se corre el peligro de que
las personas no sean capaces de reconocerlos, de transferirlos a otros campos o
de relacionarlos con otros conceptos o significados.
Por lo tanto, es
necesario diseñar actividades encaminadas a hacer posible que las personas
expliciten y reconozcan los instrumentos de conocimiento creados o utilizados.
Finalmente, hará falta entrar en actividades de comunicación y validación que
hagan posible la distribución del saber entre todas las personas antes de
llegar a un fase de institucionalización en la que los instrumentos de conocimiento
creados reciban el estatuto de objeto matemático: ésta es la condición de
homogeneización de la clase, para que cada uno de los alumnos y alumnas tenga
la posibilidad de acotar su saber y por lo tanto de asegurar su progresión.
Estas últimas etapas son
absolutamente necesarias para que los contenidos aprendidos puedan vincularse
con las definiciones y los formalismos de los manuales, es decir, con el
conocimiento socialmente constituido y reconocido. Si esta vinculación no se
da, puede hipotecarse la posibilidad de que, en el futuro, el saber de las
personas pueda desarrollarse de forma teórica, quedando sólo de forma
embrionaria y personal, y privado del adecuado sistema de representación que
facilite su comunicación y uso.
3.3 La interacción
social en el aula .
El marco teórico que
hemos ido dibujando y el tipo de trabajo que intentamos hacer nos llevan
inevitablemente a poner la atención en la interacción social que tiene lugar en
el aula, un tema que es en la actualidad centro de atención en el ámbito de la
investigación didáctica, en particular, en lo que respecta a las interacciones
verbales que tienen lugar entre el enseñante y los alumnos y alumnas o bien
entre éstos cuando trabajan por parejas, en pequeño grupo o en gran grupo.
Las interacciones
verbales no son las únicas interacciones sociales que se dan en el interior del
aula, pero es evidente que son el tipo de interacción más importante. Las
interacciones verbales en la enseñanza tradicional están reguladas por reglas
sociales muy estrictas que son seguidas por los participantes sin que se den
cuenta (Edwards y Mercer, 1987). Estas reglas son a menudo distintas de las que
rigen en la conversación cotidiana, pero son aceptadas de manera implícita. En
las aulas donde se lleva a cabo una enseñanza tradicional de la matemática, es
posible identificar ciertas reglas que tienen que ver más con ciertas
convenciones sociales que con la matemática y que acaban teniendo efectos sobre
la percepción por parte de los alumnos y de las alumnas del estatuto que tienen
las matemáticas escolares.
Según algunos de estos
estudios, una de las reglas del juego (o del contrato didáctico) que
tradicionalmente se establece dentro del aula la podemos sintetizar de la
manera siguiente:
a)
Sólo el enseñante hace preguntas.
b)
El enseñante conoce todas las respuestas.
c)
Repetir una pregunta significa que la respuesta es incorrecta.
¿Cómo cambiar estas
reglas? La dificultad estriba en el hecho de que son reglas implícitas que se manifiestan
en forma de comportamientos. Los enseñantes que acepten este análisis y se
reconozcan en él habrán de iniciar la difícil tarea de aprender una nueva forma
de comportarse en las clases. Las formas de cambiar estas reglas pueden ser
diversas, pero siempre implicarán o bien diseñar nuevas acciones didácticas o
bien interpretar desde un nuevo punto de vista las que ya se llevan a cabo. Por
ejemplo, podremos introducir la discusión dirigida por el enseñante en ciertos
momentos del trabajo, podremos organizar actividades dentro y fuera del aula
para crear un sustrato de experiencias comunes a todas las personas, podremos
organizar el estudio en pequeños grupos, podremos poner a crítica las
producciones de los propios alumnos y alumnas, etc...
De todos modos, el
enseñante no puede limitarse a animar a los alumnos y alumnas a explicarse, a
exponer sus ideas, a valorarlas y a devolverlas al conjunto de la clase;
también hace falta que esté presente antes, durante y después de la acción
didáctica. Antes, para planificar y preparar el escenario, sobre la base de un
atento análisis del saber en juego; durante, para proporcionar estímulos a la
acción, crear y subrayar situaciones conflictivas, sugerir explícitamente el
recurso a instrumentos culturales que no pueden ser construidos por parte de
los alumnos y alumnas sobre la única base de su propia experiencia; después,
para dar forma al saber construido e introducir en la memoria de la clase los
nuevos instrumentos matemáticos de manera estable.
Cabe destacar entre las
posibles interacciones verbales que deben ser objeto de atención por parte del
enseñante las discusiones sobre contenidos matemáticos. La discusión comporta
procesos lingüísticos y sociocognitivos particularmente relevantes para la
adquisición de nuevas estrategias y de conocimientos más complejos. Por otra
parte, la importancia de la discusión vienen avalada por las aportaciones de
Vygotsky, para el cual las funciones mentales superiores se desarrollan primero
a un nivel interpersonal (como el que puede suponer la discusión colectiva)
antes de pasar a un nivel intrapersonal.
3.4 La
unidad "Genética"
En la otra unidad
"Genética" (7) se explota el campo de experiencia de las "leyes
de herencia" para construir algunos contenidos de matemáticas como
instrumentos que nos permiten disponer de un modelo interpretativo de las
citadas leyes : en particular , la noción de azar , con sus características
específicas , y el concepto de probabilidad y de su medida.
El análisis histórico
permite darse cuenta de que es precisamente con las leyes de Mendel como el
concepto de azar y de probabilidad permite construir por primera vez un modelo
matemático adecuado para interpretar un fenómeno biológico. Esta
recontextualización histórica , una vez en el aula permite:
La unidad está pensada
para favorecer los intercambios verbales (escritos y orales) entre:
Por último subrayaremos
que ésta es una unidad que permite comprender una idea que ya hemos expresado
antes: el imperaivo de responder a las necesidades individuales profundas que
tiene los alumnos y alumnas de "remontarse a los orígenes", de
identificarse con sus orígenes familiares.
4. Conclusiones
El hecho que nuestra
propuesta para la enseñanza de las matemáticas y de las ciencias implique que
un solo profesor o profesora imparta las diveras unidades didácticas elaboradas
ha supuesto la necesidad de formarnos en temas que no eran de nuestra
especialidad. Trabajar en una propuesta como la citada plantea una cierta
dialéctica entre la necesidad de especialización y una formación más global del
profesorado de enseñanza secundaria. En este sentido , puede haber una cierta
contradicción entre algunos objetivos ( y algunas contradicciones que se
dan en el Diseño Curricular) que se pretende que los alumnos y alumnas
alcancen de carácter más bien globalizador y nuestra propia formación que, como
licenciados , es muy especializada.
Uno de los aspectos
importantes de la propuesta es que parte de preguntarse cuáles son los temas,
las situaciones y los intereses de los alumnos que hay que trabajar y
desarrollar dentro de la Educación Secundaria Obligatoria. Creemos que la
experiencia nos ha confirmado que una manera de afrontar estas cuestiones es a
través de la reflexión como adultos de los propios enseñantes. Este
planteamiento, además es la clave de la implicación personal que comporta
la propuesta, el desarrollo de la cual revaloriza el papel del enseñante,
haciéndolo ir más allá de un simple ejecutor de un plan de estudios. Y también
la clave del porqué permite iniciar una discusión entre enseñantes de distintas
áreas más allá de la simple polémica sobre la importancia de cada una de ellas
y de su traducción en el número de horas semanales necesarias para impartirlas.
El análisis de estos
últimos cursos, durante los cuales hemos llevado a término la enseñanza de las
matemáticas y las ciencias a partir de la propuesta citada, nos permite afirmar
que se cubren los objetivos de las dos áreas, a pesar de que todavía hará falta
hacer algunas sucesivas revisiones en función de la visión global de los cuatro
cursos de la Educación Secundaria Obligatoria que la experiencia vaya
aportando. A pesar de esta afirmación, poco a poco se nos ha hecho más evidente
la necesidad de poder evaluar la propuesta como tal, teniendo en cuenta que
pretende cubrir unos objetivos de carácter muy general relativos a la formación
científica y cultural que sólo es posible evaluar en periodos largos. ¿Cómo es
posible evaluar aprendizajes a largo término? ¿Cómo es posible evaluar si la formación
científica y cultural que pretende dar el instituto comporta un cambio de
actitudes, de hábitos o de manera de ver y de vivir? Son estas, todavía,
algunas cuestiones abiertas. En este sentido, nuestra propuesta es sólo una
hipótesis de trabajo.
Notas
(1) Los institutos son el IES "Sabadell" (C/ Juvenal 1, 08206
Sabadell), el IES "Vallés", el IES "Sant Quirze" y el LES
"Santa Perpetua".
(2) Esta Propuesta, con el nombre de "Matemátiques i Realitat", fue
presentada y seleccionada en el Concurso de Materiales Curriculares convocado
por el MEC (Madrid, 1990). El material presentado incluye nueve unidades
didácticas, algunas con las guías para el profesorado, que cubren el primer
ciclo de la Educación Secundaria Obligatoria. Las unidades citadas tienen por
título: Mesurar per conéixer, La temperatura i la seva mesura, Sol i Terra,
Cálcul en la historia, Nutricio i alimentació, Habitatges i terrenys, Casa i
territori, Genética y Geometria en la história.
(3) En estos momentos, en todos los cursos de la Educación Secundaria
Obligatoria, un solo enseñante se hace cargo de las dos áreas, las Matemáticas
y las Ciencias Experimentales. En el primer ciclo, las dos áreas se imparten en
clase a partir de las unidades citadas e incluyen contenidos de ambas.
(4) Esta Propuesta debe mucho al trabajo desarrollado con el Grupo Zero de
Barcelona, en lo que se refiere a las matemáticas, y al trabajo en colaboración
con el Gruppo di Ricerca sulla Didattica Bella Matemática e la Formazione
Scientifica nella Scuola dell'Obbligo, de la Universidad de Génova y coordinado
por Paolo Boero. Este Gruppo trabaja desde el año 1975 en una propuesta para la
Scuola Media (1113).
(5) Es una unidad didáctica que se trabaja en primer curso de la Educación
Secundaria Obligatoria. Forma parte del Proyecto "Matemátiques i Realitat.
Está escrita su guía para el profesorado. Es una adaptación de la unidad
"Sole e Terra" del Gruppo di Ricerca de Génova.
(6) Es una unidad didáctica que se trabaja en segundo curso de Educación
Secundaria Obligatoria. Forma parte del Proyecto "Matemátiques i Realitat.
Está escrita su guía para el profesorado.
(7) Es una unidad didáctica que se trabaja en segundo curso de Educación
Secundaria Obligatoria. Forma parte del Proyecto "Matemátiques i
Realitat". Es una adaptación de la unidad "Genetica" del Gruppo
di Ricerca de Génova.
Referencias bibliográficas
AZCÁRATE, C. (1994): "El contracte didáctic". En Crónica d
Ensenyament, n° 70. Barcelona, Departament d'Ensenyament de la Generalitat de
Catalunya.
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BOERO, P. (1995):
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BONILLA, E. (1987): "La dimensión de la cultura en la investigación en
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del Caribe sobre formación de profesores e investigación en matemática
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BROUSSEAU, G. (1986): "Fondaments et méthodes de la didactique des
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(*) Carles Lladó es profesor de Matemáticas en el Instituto de Educación
Secundaria "Sabadell" (Teléfono de contacto: 93-725 04 67).